Cho các điểm (0, 3), (2, 3), (4, 4), (−1, 2). Chúng ta tìm một lời giải có dạng αx + β = y, nghĩa là,

( x 1 ) ( α β ) = y {\displaystyle {\begin{pmatrix}x&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=y}

Chúng ta sau đó có thể lập ma trận A:

A = ( 0 1 2 1 4 1 − 1 1 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\2&1\\4&1\\-1&1\\\end{pmatrix}}} A T = ( 0 2 4 − 1 1 1 1 1 ) {\displaystyle A^{T}={\begin{pmatrix}0&2&4&-1\\1&1&1&1\end{pmatrix}}} A T A = ( 21 5 5 4 ) {\displaystyle A^{T}A={\begin{pmatrix}21&5\\5&4\end{pmatrix}}}

và vectơ b

b = ( 3 3 4 2 ) {\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}3\\3\\4\\2\end{pmatrix}}}

và sau đó

A T b = ( 20 12 ) {\displaystyle A^{T}\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}20\\12\end{pmatrix}}}

Do đó, phương trình normal là

Hình vẽ các điểm và lời giải. A T A ( α β ) = A T b {\displaystyle A^{T}A{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}=A^{T}\mathbf {b} } ( 21 5 5 4 ) ( α β ) = ( 20 12 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}21&5\\5&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20\\12\end{pmatrix}}}

Sau đó,

( A T A ) − 1 = 1 59 ( 4 − 5 − 5 21 ) {\displaystyle (A^{T}A)^{-1}={1 \over 59}{\begin{pmatrix}4&-5\\-5&21\end{pmatrix}}}

and

( α β ) = 1 59 ( 4 − 5 − 5 21 ) ( 20 12 ) = ( 20 / 59 152 / 59 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}={1 \over 59}{\begin{pmatrix}4&-5\\-5&21\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}20\\12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}20/59\\152/59\end{pmatrix}}}

và đường thẳng tốt nhất là (20/59)x + 152/59 = y.